La notación
científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y
representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo
se usan potencias
de diez.
Básicamente, la notación
científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de
diez.
En el sistema decimal,
cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación
científica.
Para expresar un número
en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la
desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en
cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos
hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el
único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos
los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.
Es más fácil entender
con ejemplos:
732,5051 =
7,325051 • 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la
izquierda)
−0,005612 =
−5,612 • 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la
derecha).
Nótese que la cantidad
de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el
exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente
es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.
Nota importante:
Siempre que movemos la
coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será
positivo.
Siempre que movemos la
coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 será
negativo.
|
Otro ejemplo,
representar en notación científica: 7.856,1
1. Se desplaza la coma decimal hacia la
izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero
diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7.
7,8561
La coma se desplazó 3
lugares.
2. El número de cifras desplazada indica el
exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la
potencia es de 103.
3. El signo del exponente es positivo si la
coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la
derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se
anota; se sobreentiende.
Por lo tanto, la
notación científica de la cantidad 7.856,1 es:
7,8561 • 103
Operaciones con números en notación
científica
Multiplicar
Para multiplicar se
multiplican las expresiones decimales de las notaciones científicas y se
aplica producto
de potencias para las potencias de base 10.
Ejemplo:
(5,24 • 106)
• (6,3 • 108) = 5,24 • 6,3 • 106 + 8
= 33,012 • 1014 = 3,301215
Veamos el procedimiento
en la solución de un problema:
Un tren viaja a una
velocidad de 26,83 m/s, ¿qué distancia recorrerá en 1.300 s?
1. Convierte las
cantidades a notación científica.
26,83 m/s = 2,683
• 101 m/s
1.300 s = 1,3 • 103
s
2. La fórmula para calcular la distancia
indica una multiplicación: distancia (d) = velocidad (V) x tiempo
(t).
d = Vt
Reemplazamos los valores
por los que tenemos en notación científica
d = (2,683 • 101
m/s) • (1,3 • 103 s)
3. Se realiza la multiplicación de los valores
numéricos de la notación exponencial,
(2,683 m/s) x 1,3
s = 3,4879 m.
4. Ahora multiplicamos
las potencias de base 10. Cuando se realiza una multiplicación
de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) se suman los
exponentes.
(101) • (103)
= 101+3 = 104
5. Del procedimiento anterior se obtiene:
3,4879 • 104
Por lo tanto, la
distancia que recorrería el ferrocarril sería de
3,4879 • 104
m
La cifra 3,4879 •
10 elevado a 4 es igual a 34.879 metros.
Dividir
Se dividen las
expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división
de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado
como nueva notación científica.
Hagamos una división:
(5,24 • 107)
(6,3 • 104) |
=
|
(5,24 ÷ 6,3) • 107−4 = 0,831746 • 103 =
8,31746 • 10−1 • 103 = 8,31746 • 102
|
Suma y resta
Si tenemos una suma o
resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este ejemplo:
5,83 • 109 −
7,5 • 1010 + 6,932 • 1012 =
lo primero que debemos
hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las
potencias de 10, en este caso el factor será 109 (la potencia más
pequeña), y factorizamos:
109
(5,83 − 7,5 • 101 + 6,932 • 103) = 109
(5,83 − 75 + 6932) = 6.862,83 • 109
Arreglamos de nuevo el resultado
para ponerlo en notación científica y nos queda:
6,86283 • 1012,
si eventualmente queremos redondear el número con solo dos decimales, este
quedará 6,86 • 1012.
Potenciación
Si tenemos alguna
notación científica elevada a un exponente, como por ejemplo
(3 • 106)2
¿qué hacemos?
Primero elevamos
(potenciamos) el 3, que está al cuadrado (32) y en seguida
multiplicamos los exponentes pues la potencia es (106)2,
para quedar todo:
9 • 1012
CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN EL
CÁLCULO
________________________________________________
Cifras.
Son los dígitos con los que se
escriben los números que representan las cantidades medidas.
Cifras significativas.
• Son todos los dígitos que se
conocen con seguridad, o de los que existe una cierta certeza. El número de
cifras significativas es el número de cifras sin contar ceros a la izquierda.
Ejemplo: 2,78; 0,554 y 0,00390
tienen tres cifras significativas.
• Si no se indica explícitamente
la incertidumbre (±), las cifras significativas la indican implícitamente por
redondeo.
• En caso de expresar el
resultado junto con la incertidumbre, ésta determina el número total de cifras
significativas.
Ejemplo: 4,563 ± 0,02; Presenta
tres cifras significativas, donde las dos primeras se conocen con una certeza
total y la tercera (la centésima) tiene una cierta incertidumbre, pero también
es una cifra significativa. Por lo tanto, la expresión correcta del resultado
es 4,56 ± 0,02.
Unidad
|
décima
|
centésima
|
milésima
|
|
Cifra
|
4
|
5
|
6
|
3
|
Incertidumbre
|
0
|
0
|
2
|
Toda
|
Reglas para establecer cifras
significativas.
1. La primera cifra de la
izquierda distinta de cero, es la cifra más significativa.
2. Si no hay coma decimal, la
última cifra de la derecha distinta de cero es la menos significativa (los
ceros a la derecha en números enteros no son significativos).
3. Si hay coma decimal, la última
cifra de la derecha aunque sea cero, es la menos significativa.
4. Son cifras significativas
todas las que se encuentran entre la más y la menos significativa.
Ejemplos: 3400 ± 100 tiene dos
cifras significativas
100,0 ± 0,1 tiene cuatro cifras
significativas
0,0005670 ± 0,0000001 tiene
cuatro cifras significativas
0,0003004 ± 0,0000001 tiene
cuatro cifras significativas
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RPS-Qualitas
Consultoría de Calidad y
Laboratorio S.L.
Manejo de cifras significativas
en cálculos.
En sumas o restas, el resultado
se expresa con un número de decimales igual al del sumando con el menor número
de decimales. En productos o divisiones, el número de cifras significativas del
resultado viene determinado por el factor que tenga menor número de cifras
significativas.
Ejemplos:
37,5 + 8,77 = 46,3 (redondeo a un
decimal de 46,27)
2,83 * 15,2462 = 43,146746, ya
que el primer factor tiene una cifra significativa.
Ejemplo:
Para obtener el área de un
círculo, se mide su diámetro D=8,35 cm. Si utilizamos la calculadora, obtenemos
que A = p D2 / 4 = 54,75999234465 cm2 con doce cifras significativas, lo cual
resulta absurdo.
La manera correcta de expresar
este resultado es: D*D à A = 54,8 cm2 con tres cifras significativas.
Notación científica.
Permite tener una idea del orden
de magnitud en el caso de cifras con muchos ceros, tanto a la izquierda como a
la derecha. Utilizando la notación científica un número se escribe como el
producto de dos partes: un número comprendido entre 1 y 10, y una potencia de
10.
El número se representa con una
cifra entera seguida de todas las cifras significativas y multiplicando por la
potencia de 10 que corresponda para lograr la equivalencia.
Ejemplos: 0,0001230 = 1,230 * 10-4
120000000 = 1,2 * 108
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